Un modelo simple para el ruido rosa a partir de modulaciones de amplitud.

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Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 8364 (2023) Citar este artículo

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Proponemos un modelo simple para el origen del ruido rosa (o fluctuación 1/f) basado en las ondas con frecuencias acumuladas. Estas ondas surgen espontáneamente en un sistema con sincronización, resonancia y divergencia infrarroja. Muchas ondas con frecuencias acumuladas pueden producir señales de pequeñas frecuencias arbitrarias a partir de un sistema de pequeño tamaño. Este mecanismo de latido se puede entender como modulación de amplitud. El ruido rosa puede aparecer después del proceso de demodulación, que produce una variedad de ruido rosa en muchos campos. El ruido rosa así formado a partir del latido no tiene nada que ver con la disipación o la memoria a largo plazo. También sugerimos nuevas formas de ver el ruido rosa en terremotos, erupciones solares y actividades estelares.

El ruido rosa es omnipresente. Este ruido se caracteriza por el comportamiento de ley de potencia en la región de muy baja frecuencia de la densidad del espectro de potencia (PSD) con potencia \(-\alpha\), (\(0.5<\alpha <1.5\)). Este ruido también se conoce como fluctuación 1/f o ruido de parpadeo.

Desde el primer descubrimiento del ruido rosa en una corriente de tubo de vacío1, se ha observado el mismo ruido en muchos sistemas: semiconductores, metales delgados, biomembranas, osciladores de cristal, variaciones de temperatura a muy largo plazo, el volumen de la música orquestal, fluctuaciones en la temperatura de la Tierra. velocidad de rotación, fluctuaciones en la intensidad de los rayos cósmicos, latidos cardíacos, control postural, magnetoencefalografía y electroencefalografía en el cerebro, etc.2,3.

Ha habido muchas discusiones sobre el origen del ruido rosa2,3,4,5, pero no parece haber una conclusión clara. Se han propuesto muchos modelos que dan lugar al ruido rosa, pero no se han descubierto mecanismos universales.

Dado que el ruido rosa es omnipresente, el mecanismo debería ser lo suficientemente simple. Sin embargo, todas las aplicaciones de los conceptos y técnicas básicos de la mecánica estadística estándar parecen haber encontrado conflictos y disputas. Luego, la gente ha tendido a considerar conceptos más fundamentales que pueden reescribir la teoría de la mecánica estadística estándar.

Un mecanismo típico para producir fluctuaciones arbitrarias de baja frecuencia sería el pulso de onda, o modulación de amplitud, de las fluctuaciones primarias de alta frecuencia. Esta modulación de amplitud sería exitosa para el ruido rosa si las frecuencias estuvieran más concentradas en un rango pequeño. Entonces, la onda de pulsación secundaria puede tener frecuencias más bajas. Uno de los autores ya ha propuesto este mecanismo para el ruido rosa de los sonidos y la música6.

Además, esta concentración debe ser cooperativa y sistemática para formar el PSD de ley de potencia. Proponemos al menos tres tipos de sistemas cooperativos que pueden producir ruido rosa. Son (a) la sincronización, (b) la resonancia y (c) la divergencia infrarroja (IR).

Si el ruido rosa fuera una modulación de amplitud, el mecanismo de demodulación también debería existir. Esto se debe a que todos los datos modulados solo tienen información de alta frecuencia, mientras que los datos después de la demodulación pueden mostrar explícitamente la información de baja frecuencia, incluido el ruido rosa. El mecanismo de demodulación puede ser intrínseco al sistema o estar preparado en el procedimiento de medición. Muchos mecanismos de demodulación hacen que los fenómenos del ruido rosa sean diversos: toma del cuadrado de la señal original, rectificación, umbralización, etc. Por ejemplo, cuando la corriente o voltaje eléctrico supera el umbral en el cuerpo biológico, se produce la ignición y produce picos en las células nerviosas. . Así, el posible ruido rosa de la corriente eléctrica se transfiere a la señal nerviosa.

Comenzamos nuestra discusión en la siguiente sección Método, enumerando pistas cruciales sobre el origen del ruido rosa; todo apunta a la posibilidad de que el ruido rosa sea una modulación de amplitud. Luego proponemos tres mecanismos que conducen a la modulación. Primero discutimos el mecanismo de sincronización más típico. Mostramos que (a) la sincronización exponencial produce un índice de potencia de \(-1,\) y la sincronización de ley de potencia produce un índice de potencia ligeramente diferente de \(-1\). A continuación, (b) la resonancia también produce ruido rosa ya que la concentración de los modos propios excitados alrededor de la frecuencia fiduciaria se aproxima sistemáticamente mediante la función exponencial en el dominio relevante. Además, (c) la divergencia infrarroja en el bremsstrahlung puede generar ruido rosa. Finalmente, discutimos la robustez del ruido rosa y varios mecanismos de demodulación que producen una variedad de ruido rosa. En la sección de conclusiones, resumimos nuestra propuesta y posibles verificaciones basadas en los puntos presentados en la sección de Método. También resumimos nuestras perspectivas de modulación de amplitud en una variedad de sistemas.

Ahora enumeraremos algunas pistas cruciales sobre el origen del ruido rosa. Este proceso es bastante importante porque puede aclarar qué principios de la mecánica estadística son útiles y cuáles no son útiles para describir el ruido rosa.

Los sistemas de ondas que presentan ruido rosa suelen ser ondas: ondas de sonido, corriente eléctrica, aire-líquido, flujo de líquido, etc. Las ondas pueden interferir entre sí. Por lo tanto, la interferencia de las ondas puede ser una pista para obtener ruido rosa.

Sistema pequeño y memoria aparentemente larga Es extraño que una señal de frecuencia ultrabaja pueda provenir de un sistema diminuto. Como ejemplo extremo7, las películas semiconductoras de capas de 2,5 nm producen un ruido rosa observable. Un semiconductor pequeño puede tener ruido rosa hasta \(10^{-7}\,\textrm{Hz}\)8, y las fluctuaciones de voltaje a través de un semiconductor muestran ruido rosa desde aproximadamente \(1\,\textrm{Hz}\ ) a \(10^{-6.3}\,\textrm{Hz}\)9. Estas notables frecuencias bajas suenan casi imposibles para los pequeños sistemas ordinarios. En este contexto, si el teorema de Wiener-Khinchin \(S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }d\tau \int _{-\infty }^{\infty }dt\langle x(t)x(t-\tau )\rangle e^{-2\pi i\omega \tau }\) eran correctos, entonces la fuerte señal de baja frecuencia en \(S(\omega )\) del el ruido rosa indicaría necesariamente la correlación a largo plazo que no desaparece \(\langle x(t)x(t-\tau )\rangle\). Probablemente, el promedio de tiempo en este teorema no puede ser físico: puede no estar bien definido para una serie de tiempo no estacionaria y no puede evaluarse con precisión para un rango finito de datos.

Aparentemente sin límite inferior en la PSD A menudo se comenta que el ruido rosa no parece tener un límite inferior explícito en la PSD determinado por la física que gobierna el sistema. Es posible que el sistema que muestra ruido rosa no esté estacionario. Por lo tanto, puede ser inútil tener discusiones basadas en la estacionariedad del sistema.

Independencia de la disipación Sorprendentemente, el ruido rosa aparece incluso en el modelo hamiltoniano de campo medio (HMF), que es un sistema estrictamente conservador10 y no tiene nada que ver con la disipación. Por lo tanto, el teorema usual de fluctuación-disipación del tipo \(\left\langle \delta x^{2}\right\rangle \propto RkT\) puede no ser válido para el ruido rosa (R es la resistencia eléctrica y kT es la temperatura ).

Cuadrado de la señal original Al derivar el ruido rosa, a menudo ocurre que la secuencia de tiempo original se eleva al cuadrado antes del análisis PSD. Por ejemplo, en el caso de la música11, los datos de ondas de sonido siempre deben estar elevados al cuadrado para PSD; los autores afirman que estos datos al cuadrado son la sonoridad. De manera similar, en el caso del modelo HMF10, los autores siempre toman un cuadrado de las variables originales para obtener el ruido rosa. En ambos casos, los datos originales antes de tomar el cuadrado no muestran ruido rosa. En el caso de la corriente eléctrica, este procedimiento no es manifiesto, aunque el artículo seminal1 enfatiza el cuadrado del voltaje \(V^{2}\) para PSD.

A partir de las cinco pistas anteriores, especulamos que los latidos de muchas ondas con frecuencias acumuladas pueden ser el origen del ruido 1/f. Una simple superposición de dos ondas \(\sin (\omega t+\lambda t)+\sin (\omega t-\lambda t)=2\cos (\lambda t)\sin (\omega t)\) con \ (\omega \gg \lambda >0\) no tiene componente de baja frecuencia alrededor de \(\lambda\) en el PSD. Por otro lado, el cuadrado de la onda superpuesta arriba tiene una señal de baja frecuencia, es decir, los latidos, alrededor de \(2\lambda\) en su PSD. Por cierto, a veces es confuso que el latido de la onda de sonido sea "audible" aunque el PSD de la superposición original de las dos ondas no muestre la señal de baja frecuencia correspondiente.

El argumento anterior nos recuerda a un instrumento musical típico, el Theremin12, que utiliza el ritmo de las ondas. Al mezclar las señales de alta frecuencia de 1000 kHz y 999,560 kHz generadas por un circuito eléctrico, la señal de baja frecuencia de 440 Hz se puede extraer como sonido audible. La última frecuencia se puede variar ligeramente con la mano del jugador, la distancia de la antena y la capacitancia para producir la señal de frecuencia deseada. Por lo tanto, la modulación de amplitud puede producir señales arbitrarias de baja frecuencia dentro de un sistema de tamaño pequeño. La señal modulada no tiene memoria intrínseca y no tiene nada que ver con la disipación.

Otro dispositivo familiar es la radio AM que muestra claramente el ritmo de la onda o la modulación de amplitud (AM). Mediante el uso de ondas de radio de 526,5 kHz a 1606,5 kHz, se extrae la señal audible de baja frecuencia. En este caso, el proceso de rectificación (demodulación) es fundamental para obtener señales audibles de baja frecuencia. Este proceso de demodulación también es fundamental para el ruido rosa de nuestra propuesta. En secciones posteriores, veremos una variedad de ruidos rosas en las muchas formas de demodular.

Los cinco puntos anteriores serán también una verificación elemental de nuestra propuesta. Esto se discutirá en secciones posteriores.

Parece haber varias causas del latido de la onda que forma el ruido rosa, pero la concentración de las frecuencias de onda es la esencia de las señales de baja frecuencia. Ahora nos centraremos en tales causas por separado en las siguientes secciones: (a) sincronización, (b) resonancia y (c) divergencia infrarroja.

En esta sección, analizaremos la causa de los latidos de las ondas, especialmente cuando las frecuencias de las ondas se acercan espontáneamente entre sí. Consideramos sistemas cooperativos que exhiben este comportamiento.

El tipo de sincronización más típico sería el enfoque exponencial, como en el caso del modelo de Kuramoto13, \(\omega =e^{-\lambda t}\) donde \(\omega\) es la frecuencia y \( \lambda\) es la velocidad de aproximación y t es el tiempo. Entonces, la función de distribución de frecuencia \(P(\omega )\) y la función de distribución de tiempo p(t) están relacionadas entre sí por \(P(\omega )d\omega =p(t)dt\). Si asumimos la estacionariedad de la fluctuación, establecemos \(p(t)\equiv p=const\). Entonces,

Es interesante que la función exponencial da el índice de potencia exactamente \(-1\).

El latido observado es la interferencia del par de distribuciones de frecuencia anteriores, y la frecuencia del latido \(\Delta \omega\) tiene su función de distribución de probabilidad \(Q(\Delta \omega )\) como

que nuevamente es proporcional a \(\left( \Delta \omega \right) ^{-1}\)con un pequeño factor de modificación de \(\ln [...\Delta \omega ]\). El detalle de la forma completa \(Q(\Delta \omega )\) depende de los límites del dominio de integración \(\omega _{1}<\Delta \omega <\omega _{2}\). Los ejemplos típicos se muestran en la Fig. 1.

Ejemplos de \(Q(\Delta \omega )\) en la ecuación. (2) para los casos \(p=1,\lambda =1,\omega _{2}=10^{5}\) y \(\omega _{1}=10^{-4},10^ {-6}\) (curvas sólidas y discontinuas, respectivamente). El comportamiento detallado de \(Q(\Delta \omega )\) depende de los límites superior e inferior de la integración.

El ruido rosa es robusto y la distribución de frecuencias se refleja directamente en la PDF de las ondas a esas frecuencias,

donde \(\omega\) es una frecuencia fiduciaria, c es una constante de mezcla, \(r_{i}\) la variable aleatoria de Poisson en algún rango para cada sinusoide, e i va desde 1 hasta algún límite superior. Este modelo general, aunque estático, representa la superposición de frecuencias acumuladas, incluidos muchos sistemas dinámicos. Esto se demuestra en la Fig. 2 donde se muestra el PSD de \(\phi ^{2}\).

El PSD de \(\phi ^{2}\) se muestra con \(\omega =10\), \(c=0.2\), y r es un campo aleatorio en el rango [0, 30]. Mil ondas sinusoidales se superponen de acuerdo con la ecuación. (3). El índice de potencia puede cambiar hasta aproximadamente 0,1 para cada ejecución. Este PDF muestra el ruido rosa del índice \(-1\) durante cuatro décadas.

Igual que la Fig. 2, pero las ondas sinusoidales se superponen con fase aleatoria \(\theta _{i}\), \(\,(0\le \theta _{i}<2{\pi })\) y la amplitud aleatoria \(a_{i}\,(0\le a_{i}\le 1)\) para cada uno: \(\phi \left( t\right) =\sum _{i}a_{i} \sin \left( 2\pi \omega (1+ce^{-r_{i}})t+\theta _{i}\right)\). El índice de potencia cae un poco a \(-0.9\), pero este PDF muestra la solidez del ruido rosa del latido de la onda.

El ruido rosa es robusto y la aleatorización de cada fase de la onda sinusoidal no cambia la PDF excepto que el índice de potencia se reduce ligeramente, como se muestra en la Fig. 3.

Es esencial que el cuadrado de la señal \(\phi ^{2}\) muestre ruido rosa en PSD como en la Fig. 1, mientras que la propia señal original \(\phi\) no muestre ninguna característica a baja frecuencia región como se muestra en la Fig. 4. Este hecho demuestra manifiestamente que el ruido rosa proviene del latido de la onda.

Igual que la Fig. 2, pero esto es PDF para la señal original \(\phi\). El ruido rosa nunca aparece en este caso, lo que indica que el ruido surge del latido de la onda.

Otro tipo popular de sincronización sería el enfoque de potencia \(\omega =t^{-\alpha }\). Repitiendo los mismos cálculos anteriores, obtenemos la función de distribución de frecuencias como

donde \(c\equiv p\alpha ^{-1},\beta \equiv \left( 1+\frac{1}{\alpha }\right) .\) La función de distribución de probabilidad \(Q(\Delta w )\) de la frecuencia de pulsación \(Q(\Delta w)\) viene dada por

Entonces,

si desarrollamos con respecto al pequeño \(\omega _{1}\) y al pequeño \(\Delta \omega .\) El exponente es menor que \(-1\) para \(\alpha >0\), y mayor que \(-1\) para \(\alpha <0\) pero la potencia fiduciaria es \(-1\). Los ejemplos típicos se muestran en la Fig. 5.

Ejemplos de \(Q(\Delta \omega )\) para los casos \(p=1,\lambda =1,\omega _{2}=10^{5}\) y \(\omega _{1} =10^{-4},c=1,\beta =1.2\) y 1.33 (curvas sólidas y discontinuas, respectivamente).

Una señal de onda típica se puede construir como antes,

y PSD para \(\phi ^{2}\) se muestran en la Fig. 6 para \(\alpha =3\), y en la Fig. 7 para \(\alpha =-3.\)

El PSD se muestra para \(\phi ^{2}\) con \(\alpha =3,{\omega =10}\), \(c=0.3\), y \(r_{i}\) es un campo aleatorio en el rango [0,20]. Cien ondas sinusoidales se superponen de acuerdo con la ecuación. (7). Este PDF muestra el ruido rosa del índice \(-1.4\) durante cuatro décadas.

El PSD se muestra para \(\phi ^{2}\) con \(\alpha =-3, {\omega =10},\) \({c=0.03}\) y \(r_{i} \) es un campo aleatorio en el rango [0,1]. Mil ondas sinusoidales se superponen de acuerdo con la ecuación. (7). Este PDF muestra el ruido rosa del índice \(-0.8\) durante tres décadas.

Aunque las demostraciones anteriores son modelos simples típicos de las ondas con frecuencias acumuladas, las frecuencias son fijas. Sin embargo, también es posible considerar sistemas cooperativos dinámicos con frecuencias dependientes del tiempo y, a menudo, muestran ruido rosa; modelos macroscópicos de espín acoplado14 y el modelo hamiltoniano de campo medio10. Dado que la discusión de estos está más allá del alcance de este documento, los cubriremos en un documento separado pronto.

Consideremos ahora la resonancia, que produce la concentración espontánea de frecuencias y los latidos de onda. Cuando el sistema con la frecuencia propia intrínseca \(\Omega\) es estimulado (repetidamente), emite el modo de onda de la frecuencia \(\Omega\) así como aquellos cercanos a \(\Omega\). La resonancia asegura así la concentración de frecuencias en un rango pequeño. Dado que estas frecuencias están cerca unas de otras, las ondas de estas frecuencias golpean y producen una señal en las regiones de baja frecuencia.

Supongamos un caso típico de la resonancia caracterizada por la curva de resonancia, la distribución de Cauchy

donde \(\Omega\) es la frecuencia de resonancia y \(\kappa\) caracteriza la nitidez de la resonancia. Interpretaremos esta función \(R[\omega ]\) como proporcional al número de \(\omega\)-modos en el resonador. Entonces la función de distribución de frecuencias \(P(\omega )\) viene dada por la función inversa de \(R[\omega ]\), como

donde hemos elegido la mitad superior de la inversa de \(R[\omega ]\), ya que la mitad inferior es simétrica a la mitad superior.

Es posible hacer una aproximación ingenua de la ecuación. (9) por la función exponencial \(\omega =Ae^{-Bt}\), donde las constantes A, B se determinan en el punto de inflexión de la ecuación. (9), como se muestra en la Fig. 8. Ya sabemos que esta función exponencial da el ruido rosa exacto de pendiente \(-1\) en PSD.

Esto se demuestra en la Fig. 9, donde se traza la PSD para el cuadrado \(\phi (t)^{2}\)de la secuencia de tiempo \(\phi (t)\) generada por

Demostración de la Ec. (9) en el gráfico log-lineal. La función \(\omega (t)\) se puede aproximar mediante la función exponencial (línea recta punteada) con la misma inclinación en el punto de inflexión de \(\omega (t)\), especialmente en el rango de t grande que es relevante para los latidos de baja frecuencia.

PSD de la secuencia de tiempo \(\phi (t)^{2}\) generada por la ecuación. (10) con \(\kappa =0.1,\Omega =10,\) y el dominio del campo aleatorio \(r_{i}\) es [0, 10]. Hemos superpuesto 100 ondas sinusoidales y esta PSD muestra la ley de potencia aproximada del índice \(-1.3\).

Sin embargo, el análisis del sistema no es fácil. Usando la relación \(P(\omega )d\omega =p(t)dt\) con \(p(t)\equiv p=const\), obtenemos la función de distribución de frecuencias \(P(\omega )\ ) como

que no se puede reducir a una sola forma de potencia si \(\kappa\) es finito.

Otras complicaciones surgen del sistema resonante real, que tiene armónicos complicados y múltiples frecuencias propias que contribuyen sistemáticamente al ruido rosa. Una derivación completamente sistemática del ruido rosa para cada sistema resonante concreto requiere más investigación. Dado que esto está más allá del alcance de este documento, no lo discutiremos más aquí, pero pronto se analizará en un documento separado.

Ahora consideramos la tercera causa de la concentración espontánea de frecuencias de la divergencia infrarroja. Esta clase de sistemas que exhiben ruido rosa es bastante diversa pero puede reducirse al sistema compuesto por electrones y fotones descrito por la electrodinámica.

En este contexto, una vez se propuso un origen cuántico del ruido rosa utilizando la interferencia cuántica de un electrón entre sus estados previo y posterior a la dispersión15,16. Afirman que el estado de electrones posdispersados, después de la emisión de un fotón de frecuencia \(\omega\), y el estado de electrones predispersados interfieren entre sí para producir un latido de frecuencia \(\omega\). Sin embargo, esta teoría ha sido criticada17,18, principalmente porque la interferencia cuántica en realidad no ocurre; los estados previos y posteriores a la dispersión son ortogonales entre sí y no tienen posibilidad de interferir. Incluso la introducción de la base estatal coherente no funciona. Por cierto, algunas otras críticas no son válidas.

La esencia del ruido rosa puede no ser la autointerferencia de un electrón, sino la modulación de fase de objetos semiclásicos más macroscópicos asociados con la emisión de partículas sin masa. En esta sección, nos centramos en una descripción semiclásica del electromagnetismo.

En el semiconductor, los electrones pueden ser clásicos más allá de la escala de la longitud de flujo libre, alrededor de 10 nm, que es varias tendencias del tamaño de la red. Cuando el tamaño del sistema es de aproximadamente 1 mm, hay \(10^{10}\) tales elementos locales coherentes en el sistema. Los electrones en tal elemento coherente se pueden describir en términos del paquete de ondas,

donde \(\phi \left( k\right)\) representa la función de peso y \(v_{g}=d\omega /dk\) es la velocidad de grupo19. El centro del paquete de ondas representa el límite clásico del movimiento de los electrones y la extensión del paquete de ondas puede representar interferencia.

Cuando el paquete de ondas de electrones se encuentra con impurezas, la emisión de fotones cambia su frecuencia por la energía emitida. La probabilidad de emisión de fotones de energía \(\hbar \omega\) es proporcional a \(\omega ^{-1}\) y la modulación de frecuencia del paquete de ondas asciende a \(\omega\): esta es la divergencia infrarroja en la electrodinámica cuántica (QED)20.

Estos paquetes de ondas en el sistema se propagan en la misma dirección y en cascada, se bifurcan y se unen; la modulación de frecuencia se mezcla entre sí a lo largo de su propagación. Suponemos que la frecuencia fiduciaria del paquete de ondas es \(\omega _{0}\), que está determinada por el voltaje aplicado y la conductividad. Luego, los paquetes de ondas originales se transforman en la superposición de una enorme cantidad de paquetes locales con frecuencias \(\omega_{0}-\omega_{i},i=1,2,\ldots\). Cada par de estos paquetes hace latidos con todas las diferencias posibles \(\left( \omega_{0}-\omega_{i}\right) -\left( \omega_{0}-\omega_{j} \right) =\omega _{j}-\omega _{i}.\) Por lo tanto, el sistema se llena con una enorme cantidad N de paquetes de ondas locales \(\psi _{i}(x,t)\), \ (i=1,2,\ldots\,N\). La corriente eléctrica total es la superposición de todas ellas.

donde la forma cuadrática de los paquetes de ondas corresponde a la demodulación de cada paquete, y así aparece el ruido rosa en esta corriente. Este proceso es el mismo que el caso anterior del enfoque exponencial, y muchos paquetes de ondas con frecuencias ligeramente diferentes interfieren para dar el pulso de onda como en la ecuación. (2) y así el ruido rosa aparece como en la Fig. 2.

Es importante notar que la interferencia cuántica completa, incluidos los fotones emitidos, no es necesaria para generar ruido rosa, pero una gran cantidad de paquetes de ondas con ondas sincronizadas son cruciales. Los fotones emitidos se absorben fácilmente en el sistema y, por lo tanto, la jaula de Faraday que rodea el sistema, si la hay, no afecta en absoluto a las fluctuaciones de corriente18.

En este contexto, se desarrolló el formalismo de estado vestido coherente para QED para cancelar la divergencia infrarroja asociada con el fotón sin masa21,22. Aunque la mayoría de los autores asumen corrientes de fondo (semi)clásicas ab initio, los grados de libertad clásicos no se derivan correctamente. La derivación de los grados de libertad clásicos en QED es posible en el formalismo de trayectoria temporal cerrada de la acción efectiva asociada con un estado inestable. La divergencia IR de la teoría requiere la separación del núcleo estadístico clásico de la acción efectiva compleja. Entonces la ecuación de Langevin con ruido clásico se deriva de la acción efectiva y puede describir la evolución clásica de las corrientes23.

Este formalismo requiere una discusión más sistemática de la que podemos dar aquí. Sin embargo, informaremos esta teoría en un artículo separado, incluida la interferencia cuántica clásica.

Hasta ahora, hemos propuesto tres tipos de origen de las ondas de sincronización, que dan latidos sistemáticos y producen ruido rosa. Dado que el ruido rosa es generado por el latido de la onda o la modulación de amplitud, se requiere cualquier proceso de demodulación para la observación. Este proceso de demodulación puede ser (a) mecanismos intrínsecos asociados con el sistema o (b) procesos operativos asociados con la reducción de datos para PSD. En cualquier caso, el proceso de demodulación brinda robustez y una variedad de ruido rosa. Esta sección está dedicada a mostrar algunos ejemplos de tal robustez y variedad.

Fiducial La señal fiducial es la que se analiza en "Enfoque exponencial", con los mismos parámetros de la Fig. 2: \(\omega =10\), \(c=0.2\), y \(r_{i}\) es un campo aleatorio en el rango [0, 30]. Allí, \(10^{3}\) sinusoides se superponen de acuerdo con la ecuación. (7). La señal al cuadrado \(\phi ^{2}\)muestra un claro ruido rosa de pendiente \(-1.0\) como en la Fig. 2.

El umbral para \(\phi ^{2}\) Establecemos el nuevo dato cero para los datos de \(\phi ^{2}\) que son más pequeños que la media y dejamos los otros datos como están. El PSD muestra ruido rosa con una pendiente de \(-1.0\), casi sin cambios con respecto al caso fiduciario. Este caso puede aplicarse al sistema nervioso, donde solo un voltaje superior a cierto umbral puede producir una señal de pico.

Umbral de encendido y apagado para \(\phi ^{2}\) Establecemos el nuevo dato cero para los datos de \(\phi ^{2}\) que son menores que la media y establecemos los otros datos en 1. El PSD muestra ruido rosa con una pendiente de \(-0.94\).

Umbral inverso de encendido y apagado para \(\phi ^{2}\) Este es el opuesto del caso 3. Establecemos el valor 1 para los datos de \(\phi ^{2}\) que son más pequeños que la media y establecemos los otros \(\phi ^{2}\)datos a 0. El PSD muestra ruido rosa con una pendiente de \(-0.94\), igual que en el caso 3.

Umbral para los datos originales \(\phi\) establecemos el nuevo dato cero para los datos \(\phi\) más pequeños que la media y establecemos los otros datos como están. El PSD muestra ruido rosa con una pendiente de \(-0.98\).

Rectificación del dato original \(\phi\) Ponemos a cero el nuevo dato para el dato \(\phi\) que es negativo y dejamos el resto de datos como están. El PSD muestra ruido rosa con una pendiente de \(-1.2\). Esto puede aplicarse a algunos circuitos eléctricos que contienen transistores, diodos y tubos de vacío.

Secuencia de \(\phi ^{2}\) promediados localmente Dividimos toda la secuencia de tiempo de \(\phi\) en \(10^{3}\) segmentos y aplicamos un promedio cuadrático en cada segmento. El PSD muestra ruido rosa con una pendiente de \(-1.1\). Este es el tratamiento de datos en el experimento original1.

Secuencia de \(\phi\) promediados localmente Igual que el caso 7, pero aplicamos un promedio simple en cada segmento. El PSD NO muestra ruido rosa y la potencia es positiva \(+0.8\).

Resolución de tiempo aproximada para \(\phi ^{2}\) Reducimos el número de puntos de muestra a la mitad del original. El PSD muestra un ruido casi rosa con una pendiente de \(-1.1\).

Menos ondas superpuestas Reducimos el número de ondas superpuestas del fiduciario \(10^{3}\) a 10. El PSD NO muestra ruido rosa.

Más ondas superpuestas Aumentamos el número de ondas superpuestas desde la fiducial \(10^{3}\) a \(10^{4}\). El PSD muestra ruido rosa con una potencia de \(-0.94\).

Secuencia de tiempo más larga Extendemos la secuencia de tiempo del fiduciario \(10^{4}\) a \(10^{5}\). El PSD muestra ruido rosa con una pendiente de \(-1.0\); lo mismo que antes, pero con una ley de potencia extendida por una década.

Múltiples frecuencias fiduciales Cambiamos la frecuencia fiduciaria del sencillo original a 5, seleccionadas al azar de 0 a 20. El PSD muestra ruido rosa con una pendiente de \(-1.5\).

Como se examinó anteriormente, existen múltiples procesos de demodulación. Se clasifican como (a) intrínsecos al sistema y (b) operativos en la reducción de datos, aunque la clasificación no es excluyente. Ejemplos de (a) son umbralización y rectificación: casos 3,4,5,6. Ejemplos de (b) son el cuadrado de datos: casos 1, 2, 7. Los casos 9, 11, 12, 13 muestran cierta solidez del ruido rosa.

Hemos considerado ampliamente el ruido rosa definiendo el ruido con la ley de potencia del índice \(-\alpha\), (\(0.5<\alpha <1.5\)) y hemos estudiado un modelo que muestra este comportamiento. Sin embargo, hay una clase de sistemas que muestra exactamente la potencia \(-1\). Nuestro modelo no puede explicar esta potencia exacta \(-1\), excepto el enfoque exponencial de la Secc. "Enfoque exponencial". Nos gustaría explorar hasta qué punto el modelo de enfoque exponencial puede ser general en el futuro.

Hemos discutido el origen del ruido rosa del ritmo de las ondas con frecuencias acumuladas. Hemos examinado tres posibles causas de este efecto cooperativo: sincronización, resonancia y divergencia IR. Puede haber más mecanismos. Señalamos la verificabilidad/falsabilidad de nuestro modelo basado en las cinco observaciones cruciales para el ruido rosa en la Secc. "Método: algunas pistas cruciales para el ruido rosa".

Onda La onda es esencial para producir modulación de amplitud y ritmo. La onda puede estar oculta dentro del sistema y los datos pueden obtenerse después de que pasa por el umbral. Si no podemos encontrar una onda coherente en el sistema, nuestro modelo no se puede aplicar.

Sistema pequeño y memoria aparentemente larga El teorema de Wiener-Khinchin, cuando se aplica al ruido rosa, puede indicar una memoria extremadamente larga. Sin embargo, según nuestro modelo, esta larga memoria no es indispensable. Nuestro modelo no será esencial si encontramos memoria realmente larga en el sistema que muestra ruido rosa.

Aparentemente no hay corte inferior en la PSD El latido de las ondas con frecuencias acumuladas o la modulación de amplitud pueden generar una señal de frecuencia infinitamente baja desde el interior de un sistema finito dentro de las restricciones de observación. Por lo tanto, si se encuentra una frecuencia de corte inferior intrínseca en el ruido rosa, nuestro modelo no se puede aplicar.

Independencia de la disipación El pulso de la onda o la modulación de amplitud es una fluctuación secundaria provocada por la síntesis de la onda. Por lo tanto, la disipación puede destruir el ruido rosa porque puede cancelar los frágiles latidos de las ondas.

Cuadrado de la señal original (necesidad del proceso de demodulación) La modulación de amplitud necesita algún proceso de demodulación para la observación. Las fluctuaciones primarias antes de la demodulación no aparecen en la PSD. Nuestro modelo de ruido rosa predice el proceso de demodulación como (a) intrínseco al sistema o (b) operativo en la reducción de datos. Si la demodulación se encuentra en el sistema de ruido rosa y el ruido rosa desaparece cuando se elimina el proceso de demodulación, entonces nuestro modelo se ve fuertemente favorecido.

Aunque hemos propuesto un modelo básico de ruido rosa, todavía tenemos muchos problemas con la elaboración del presente formalismo. Algunos ya se han descrito en lugares apropiados con la palabra clave 'documento separado'. Son sistemas cooperativos dinámicos, sistemas resonantes reales y sistemas con divergencia IR. Entre ellos, resumimos los posibles sistemas resonantes en la Tabla 1.

La lista en la Tabla 1 es tentativa e imperfecta. Se completará en nuestras futuras publicaciones, incluida la verificación de nuestro modelo de ruido rosa simple.

Los conjuntos de datos utilizados y/o analizados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable.

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